[실전 시계열 분석] 정상성, 자기상관, 허위상관

이번 포스팅에서는 시계열을 분류하는데 사용되는 개념인 정상성, 자체상관, 허위상관의 개념과 결과적 방법을 다룬다.

구체적인 내용을 알기 전에, 전반적인 흐름에 대해 먼저 알아야 한다.

 

 

시계열을 다룰 때 처음해야 하는 질문은 아래와 같을 것이다.

 

 

시계열이 시스템의 안정성을 반영하는가? 아니면 지속적인 변화를 반영하는가?

 

 

정상성은 안정성의 수준을 의미하고, 이를 평가하는 것 또한 아주 중요하다.

시스템이 보여준 과거의 장기적 행동이 미래의 장기적 행동에 얼마나 반영하는 지 알기 위해서이다.

 

안정성의 수준을 파악했다면 내부적인 역학의 존재를 결정해야 한다.

이는 자기상관을 찾기 위한 노력이라고 할 수 있다.

먼 과거 혹은 최근의 데이터가 얼마나 밀접한 연관성을 가졌는지 알기 위해서 이다.

 

특정 행동역학을 발견했다면, 그 역학이 우리가 알고 싶은 인과관계에 어떠한 의미를 갖는지 알아야 한다.

상관관계가 곧 인과관계는 아니다 라는 허위상관을 찾아야 한다.

어떠한 의미도 가지지 않는다면, 그 역학에 기반한 인과 관계를 찾으려 해서는 안되기 때문이다.

 

위 개념들을 아래에서 좀 더 자세히 알아보고자 한다.

 

 

# 정상성 (Stationarity)

:정상 시계열에서 측정된 시계열은 시스템의 안정적인 상태를 반영한다. 정상을 판단하는 것보다 정상이 아닌 데이터를 판단하는 것이 더  수월하다.

정상성의 정의

모든 시차 $k$에 대해 $y_t, y_{t+1}, \cdots, y_{t+k}$ 의 분포가 $t$에 의존적이지 않다면 정상과정이다.

 

정상성의 통계적 검정은 단위근(unit root)의 존재 유무로 판단한다. 

➡ 판단하고자 하는 과정의 특성방정식의 해가 1인지에 대한 질문이라고 말할 수 있다.

• 단위근의 결여가 정상성을 증명하는 것은 아니지만, 단위근이 있는 선형 시계열은 비정상으로 볼 수 있다.

$$y_t = \phi \times y_{t-1} + e_t$$

위의 식에서 $\phi$ 값이 1이라면, 단위근이 존재한다는 의미이고, 정상적이기 보다는 제멋대로 일 것이다. 

정상이 아닌 시계열 이라고 해서 반드시 추세를 가질 필요는 없다. 

위의 확률보행이 그 예라고 볼 수 있다.

 

증강된 디키-풀러 검정 (Agumented Dickey-Fuller: ADF) 

*가설검정 : 특정 과정의 정상성을 결정하는 시험

: 시계열의 정상성 문제를 가장 보편적으로 평가하는 평가 지표로서 가설 검정 방식이다.

이 검정의 귀무가설은 다음과 같다

$H_0$ : 시계열에 단위근이 존재한다.

이 귀무가설은 검정 결과에 따라 기각될 수 도 있다.

 

정상성 검정은 분산에 중점을 둔다. ➡ 분산은 공식적인 검정보다는 변환에 의해 다뤄진다

따라서 계열이 정상인지 여부에 대한 검정은 계열이 결합되었는지에 대한 검정으로 볼 수 있다.

d번 결합된 계열은 d번의 차분이 계산되어야 정상이 될 수 있는 것이다.

$$\Delta y_t = y_t - y_{t-m} = ( \phi - 1) \times y_{t-1} + e_t$$

 

실전에서는..

많은 모델들이 정상과정을 가정하기 때문에 이를 판단하는 것은 중요하다.

 

간단한 변환으로 정상이 아닌 시계열을 정상과정으로 변화시킬 수 있는데, 가장 대중적인 방법은 다음의 두가지이다.

 

< 분산이 변화하는 경우 >

• 로그
• 제곱근

< 추세가 있는 경우 >

• 차분을 구하여 제거하기 ( 보통 2차 이하로 진행 )

변환을 하기 전에 원본 데이터 셋의 데이터간 거리의 의미를 생각해 봐야하고, 가장 중요했던 정보들이 유실되지 않는지 반드시 확인하고 진행해야 한다.

 

사용하는 함수

• 롤링 윈도(rolling window) : 시계열에 일반적으로 사용되는 함수로 데이터 다운샘플링, 평활화를 하기 위해 취합할 때도 사용한다.
• 확장 윈도(expanding window) : 획장 윈도는 시간에 따라 변동하기 보다는 안정적인 과정일때 요약 통계를 추정하는 경우에만 의미가 있다. 시간에 따른 검정 통계량 추정치가 확실해 진다는 장점이 있으나 정상일 때만 잘 동작한다는 제약이 있다.
• 사용자 정의 롤링 윈도 : 적용 가능한 상황에 대해서만 고려해야 한다. 예를 들면 근본적인 기본 법칙이 있는 도메인의 데이터의 경우

 

 

# 자기상관 (Auto correlation)

: 어떤 신호와 자신을 지연함수로 시간상 지연 이동한 신호 간의 상관 관계

➡ 상관값이 두 변수 사이의 선형 관계의 크기를 측정하는 것처럼 자기상관은 시계열의 시차 값(lagged values) 사이의 관계를 측정

➡ 시간의 흐름에 따라 독립적이지 않고 과거의 데이터의 영향을 받는 상관관계

 

자기 상관 함수 (autocorrelation func, ACF)

: 시간에 따른 상관 정도를 나타냐기 위해 사용하는 함수

 

편자기상관함수(partial autocorrelation func, PACF)

: 시간에 따른 시차의 편상관정도를 나타내기 위해 사용함수

 

# 허위상관 (Spurious correlation)

엄청나게 강한 상관관계를 가지고 있는 것처럼 보이지만, 그 결과를 설명하는 어떤한 원인가설도 없는 경우(인과 관계를 설명할 수 없는 경우) 를  허위상관관계라고 말할 수 있다.

허위상관을 나타내는 시계열의 일반적인 특징

• 계절성
• 시간이 지나면서 변한 데이터의 수준이나 경사의 이동?
  • 무의미하게 높은 상관 관계를 가진 아령처럼 생긴 분포도를 생성
• 누적합계
  • 일부 산업에서 모델이나 상관관계를 실제보다 더 좋아보이게 만들기 위한 속임수 로 사용

공적분과의 관계

공적분(Cointegration) :  두 시계열 사이의 진짜 관계

 

공적분과 허위상관 모두 높은 상관관계가 관측되어 이를 구별하는 것은 어렵다.

다만, 공적분의 경우는 밀접한 연관성을 가지고 있는 시계열이기 때문에 알고 있는 것이 좋다.